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    考研数学指导 研究生入学考试_线性代数复习技巧
    研数学中之线性代数这一门有很多之复习技巧,掌握这些技巧之后对于提高成绩有着很大之帮助。专家为广大考研学子总结出以下几个技巧:  一、注重对基本概念之理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算。  线性代数之概念很多,重要之有:代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无...-zhksw摘 关键词:考试 真题 模拟题 试题 押密 预测 练 答案 习题
    作者:佚名  来源:中华考试  发布时间:2012-5-25 5:41:48

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      对于考研数学中之线性代数这一门有很多之复习技巧,掌握这些技巧之后对于提高成绩有着很大之帮助。专家为广大考研学子总结出以下几个技巧:
      一、注重对基本概念之理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算。
      线性代数之概念很多,重要之有:代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解之结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化,二次型之标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵。
      往年常有考生没有准确把握住概念之内涵,也没有注意相关概念之间之区别与联系,导致做题时出现错误。例如,矩阵A=(α1,α2,…,αm)与B=(β1,β2…,βm)等价,意味着经过初等变换可由A得到B,要做到这一点,关键是看秩r(A)与r(B)是否相等,而向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,说明这两个向量组可以互相线性表出,因而它们有相同之秩,但是向量组有相同之秩时,并不能保证它们必能互相线性表现,也就得不出向量组等价之信息,因此,由向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,可知矩阵A=(α1,α2,…αm)与B=(β1,β2,…βm)等价,但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。又如,实对称矩阵A与B合同,即存在可逆矩阵C使CTAC=B,要实现这一点,关键是二次型xTAx与xTBx之正、负惯性指数是否相同,而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP=B成立,进而知A与B有相同之特征值,如果特征值相同可知正、负惯性指数相同,但正负惯性指数相同时,并不能保证特征值相同,因此,实对称矩阵A~BAB,即相似是合同之充分条件。
      线性代数中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本方法要过关,重要之有:行列式(数字型、字母型)之计算,求逆矩阵,求矩阵之秩,求方阵之幂,求向量组之秩与极大线性无关组,线性相关之判定或求参数,求基础解系,求非齐次线性方程组之通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。
      二、注重知识点之衔接与转换,知识要成网,努力提高综合分析能力。
      线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,复习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。
      例如:设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,且AB=0,那么用分块矩阵可知B之列向量都是齐次方程组Ax=0之解,再根据基础解系之理论以及矩阵之秩与向量组秩之关系,可以有 r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n 进而可求矩阵A或B中之一些参数。再如,若A是n阶矩阵可以相似对角化,那么,用分块矩阵处理P-1AP=∧可知A有n个线性无关之特征向量,P就是由A之线性无关之特征向量所构成,再由特征向量与基础解系间之联系可知此时若λi是ni重特征值,则齐次方程组(λiE-A)x=0之基础解系由ni个解向量组成,进而可知秩r(λiE-A)=n-ni,那么,如果A不能相似对角化,则A之特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)<n-ni,若A是实对称矩阵,则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)=n-ni,此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。
      又比如,对于n阶行列式我们知道:若|A|=0,则Ax=0必有非零解,而Ax=b没有惟一解(可能有无穷多解,也可能无解),而当|A|≠0时,可用克莱姆法则求Ax=b之惟一解;可用|A|证明矩阵A是否可逆,并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1;对于n个n维向量α1,α2,…αn可以利用行列式|A|=|α1α2…αn|是否为零来判断向量组之线性相关性;矩阵A之秩r(A)是用A中非零子式之最高阶数来定义之,若r(A)<r,则A中r阶子式全为0;求矩阵A之特征值,可以通过计算行列式|λE-A|,若λ=λ0是A之特征值,则行列式|λ0E-A|=0;判断二次型xTAx之正定性,可以用顺序主子式全大于零。
      凡此种种,正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕之联系,代数题之综合性与灵活性就较大,同学们整理时要注重串联、衔接与转换。
      三、注重逻辑性与叙述表述
      线性代数对于抽象性与逻辑性有较高之要求,通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理之理解与掌握程度,考查考生之抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时,应当搞清公式、定理成立之条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言之叙述表达应准确、简明。
      线性代数中常见之证明题型有:证|A|=0;证向量组α1,α2,…αt之线性相关性,亦可引伸为证α1,α2…,αt是齐次方程组Ax=0之基础解系;证秩之等式或不等式;证明矩阵之某种性质,如对称,可逆,正交,正定,可对角化,零矩阵等;证齐次方程组是否有非零解;线性方程组是否有解(亦即β能否由α1,α2…,αs线性表出);对给出之两个方程组论证其同解性或有无公共解;证二次型之正定性,规范形等。
      总之,数学题目千变万化,有各种延伸或变式,同学们要在考试中取得好成绩,一定要认真仔细地复习,华而不实靠押题碰运气是行不通之,必须要重视三基,多思多议,不断地总结经验与教训,做到融会贯通。
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