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    名师辅导 研究生入学考试_考研数学证明题三步解决方案
    十年考研数学真题,可以看到:几乎每一年之试题中都会有一个证明题,而且基本上都是应用中值定理来解决之。但是要参加硕士入学数学统一考试之同学们在大学学习高等数学时,逻辑推理能力不足以达到考研数学之要求,这就导致考研数学考试中遇到证明推理题就会一筹莫展,这导致对于如此简单之证明题得分率也极低。除了个别考研辅导书中有一些证明思路之外,大多数考研辅导书在这一方面没有花太大力气。在此给大家简单介绍一些解决...-zhksw摘 关键词:考试 真题 模拟题 试题 押密 预测 练 答案 习题
    作者:佚名  来源:中华考试  发布时间:2012-5-25 5:41:57

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      纵观近十年考研数学真题,可以看到:几乎每一年之试题中都会有一个证明题,而且基本上都是应用中值定理来解决之。但是要参加硕士入学数学统一考试之同学们在大学学习高等数学时,逻辑推理能力不足以达到考研数学之要求,这就导致考研数学考试中遇到证明推理题就会一筹莫展,这导致对于如此简单之证明题得分率也极低。除了个别考研辅导书中有一些证明思路之外,大多数考研辅导书在这一方面没有花太大力气。在此给大家简单介绍一些解决数学证明题之入手点,希望对有此隐患之同学有所帮助。
      证明题可以分三步走:
      第一步:结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在之两个准则等基本原理,包括条件及结论。了解基本原理是证明之基础,了解之程度不同会导致不同之推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限之存在性并求极限。只要证明了极限存在,求值是很容易之,但是如果没有证明第一步,即使求出了极限值也是不能得分之。因为数学推理是环环相扣之,如果第一步未得到结论,那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单,只用了极限存在之两个准则之一:单调有界数列必有极限。只要知道这个准则,该问题就能轻松解决,因为对于该题中之数列来说,“单调性”与“有界性”都是很好验证之。像这样直接可以利用基本原理之证明题并不是很多,更多之是要用到第二步。
      第二步:借助几何意义寻求证明思路。一个证明题,大多时候是能用其几何意义来正确解释之,当然最为基础之是要正确理解题目中文字之含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理之证明题,可以在直角坐标系中画出满足题设条件之函数草图,再联系结论能够发现:两个函数除两个端点外还有一个函数值相等之点,那就是两个函数分别取最大值之点(正确审题:两个函数取得最大值之点不一定是同一个点)之间之一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理之证明题,只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在[0,1]上之图形就立刻能看到两个函数图形有交点,这就是所证结论,重要之是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反,也就是差函数在两个端点之值是异号之,零点存在定理保证了区间内有零点,这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题之话,转第三步。
      第三步:逆推。从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题,该题只要应用不等式证明之一般步骤就能解决问题:即从结论出发构造函数,利用函数之单调性推出结论。在判定函数之单调性时需借助导数符号与单调性之间之关系,正常情况只需一阶导之符号就可判断函数之单调性,非正常情况却出现之更多(这里所举出之例子就属非正常情况),这时需先用二阶导数之符号判定一阶导数之单调性,再用一阶导之符号判定原来函数之单调性,从而得所要证之结果。该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要证之不等式。
      对于那些经常使用如上方法之同学来说,利用三步走就能轻松收获数学证明之分数,但对于从心理上就不自信能解决证明题之同学来说,却常常轻易丢失,后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心,以防止分数之白白流失。
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